单调有界准则，数列的单调有界准则?

数列的单调有界准则?

这个数列的单调有界准则也称为单调收敛定理，是指一个数列如果是单调递增且上界存在或者单调递减且下界存在，则该数列必定收敛。 换言之，如果一个数列满足以下条件之一： 1. 该数列严格单调递增，且存在一个实数M，使得对于数列中的任意项n，都有 $a_n < M$。 2. 该数列严格单调递减，且存在一个实数m，使得对于数列中的任意项n，都有 $a_n > m$。 那么这个数列就是收敛的，也就是说它存在极限。 这个定理的实质是把一个特定的数列的单调性和有界性这两个特征，联系起来得到的。由于这个定理具有简单、直观、易于应用等特点，因此在数学分析、高等数学等领域中被广泛应用。

1、单调有界准则：单调增函数有上界则有上确界，单调减函数有下界则有下确界。 2、若数列单调递增有上界，或单调递减有下界，则数列必存在极限。对于递推类的数列经常使用这一原则求极限（所谓递推数列就是后一项是可以由前一项通过式子推出来的）。

单调有界定理适用于连续函数吗?

函数的单调性与连续没有关系,单调函数未必是连续函数.如分段函数。 单调有界定理：若数列an递增有上界（递减有下界），则数列an收敛，即单调有界数列必有极限。具体来说，如果一个数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列收敛。 连续函数：应用于数学等学科的函数。

单调有界准则证明例题?

证明： ∵ x(n+1) =√[2+x(n)] x(1)=√2 显然，x(n)>0 [x(n+1)]² - [x(n)]² =2+x(n)-[x(n)]² =-[x(n) -2][x(n)+1] 假设：x(n)<2，那么： 1° x(1)=√2<2 x(2)=√(2+√2)<√(2+2)=2 x(3)=√[2+√(2+√2)]<√[2+√(2+2)]=2 2° 令：n=k时，x(k)<2也成立，那么当n=k+1时： x(k+1)=√[2+x(k)]<√(2+2)=2 因此：当n=k+1时，x(k+1)<2也成立！ 综上，x(n)<2 于是： [x(n+1)]² - [x(n)]² =2+x(n)-[x(n)]² =-[x(n) -2][x(n)+1]>0 ∴ x(n+1) >x(n) 对于数列{x(n)}： 1）x(n+1) >x(n)，数列单调递增； 2）x(n)<2，该数列有上确界 ∴数列{x(n)}极限存在！ 设：lim(x→∞) x(n)=A 对x(n+1) =√[2+x(n)]两边求极限，于是： A=√(2+A) 解得：A=2和-1 根据极限保号性，A=-1舍去，因此： lim(x→∞) x(n)=2

单调有界准则是实数完备性的一个重要应用。证明例题如下：假设有一个单调递增的数列{an}，且存在一个上界M，即对于所有的n，有an≤M。根据单调有界准则，这个数列必定收敛。证明思路如下：首先，由于数列单调递增，可以证明数列是有界的。其次，由于数列有上界M，可以使用实数完备性的定义，即数列存在一个极限L。最后，通过数列的单调性，可以证明极限L就是数列的极限。因此，根据单调有界准则，这个数列收敛。

单调有界准则必须是确界吗?

不是，如果从左右两边都能到达一个定点的邻域即对这个点来说极限存在，而单调有界是指在在函数变化过程中始终不能超过某一界限，对于这个函数来说最贴近的界限就是极限。简单来说，一个双向对点，另一个单向至无穷对函数。