贝克莱悖论-47句优选

贝克莱悖论

1、公元前5世纪，数学的认知还处在从自然数概念而形成有理数概念的早期阶段，对于无理数的概念是一无所知。早期的数学知识包括了大量经验性的东西，当时的人们认为一切量都可以用有理数来表示，尤其是信仰“一切皆数”的毕达哥拉斯学派，深信数的和谐与数是万物的本源，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数比。在这样的背景条件下，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约，这直接挑战了毕达哥拉斯学派的信条，冲击了古希腊人数学认知，引起了人们的恐慌，造成了数学上的第一次危机。

2、理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时,就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸?"如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸,那么他就不符合他的原则。

3、该危机对当时的数学发展产生了极大的影响：

4、年,英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》,矛头指向微积分的基础--无穷小的问题,提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时,采取了先给x以增量0,应用二项式（x0）n,从中减去xn以求得增量,并除以0以求出xn的增量与x的增量之比,然后又让0消逝,这样得出增量的最终比。

5、古希腊人在解决危机的过程中，把数和量区分开来，分而治之的策略使得算术、代数的发展受到极大的限制，而几何学却得到充分发展。

6、毕达哥拉斯学派为了维护“真理”，把发现真理的希帕索斯扔到了大海里。似乎欧洲人继承了这一点，可怜的布鲁诺、哥白尼也成为了牺牲品。然而，伟大的发现，并没有因为发现者的死亡而消逝，反而得到广泛流传，引起了人们的关注和思考。毕达哥拉斯学派在这种压力下，被迫接受了悖论并给出了单子概念，企图解决悖论。单子概念是一个小度量单位以致本身是不可度量的。基于单子，芝诺有话要说，他认为一个单子或者是0或者不是0，如果是0，则无穷多个单子相加也产生不了长度，如果不是0，则由无穷多个单子可组成有限长线段。因此，芝诺悖论也列为数学第一次危机的组成部分。

7、在数学的历史长河中，一共出现了三次重大的数学危机，它们分别是由希帕索斯悖论、贝克莱悖论以及罗素悖论引起的，每次悖论的发现都引起了科学家们对原有数学理论基础的广泛而又激烈的争论以及后续数学理论的进一步完善。

8、为解除数学的第二次危机，整个18世纪，数学家的首要任务就是为微积分找出合乎逻辑的理论基础。数学家们从不同的角度提出各自的方案，其中有一个方案是通过极限的方法为微积分提供论证，把极限概念作为微积分的基础，为无穷小量的整个运算提供可靠的根据，其代表人物是达朗贝尔和柯西。柯西详细、系统地发展极限论，在极限概念“算术化”的方向上迈出了决定性的一步。19世纪后半叶，康托尔、维尔斯特拉斯和戴德金等人沿着柯西开辟的道路，建立起完整的实数理论，伴随着分析的严格化，第二次数学危机也宣告结束。

9、无论在任何情况下都导致矛盾。这就是人所共知的罗素悖论。

10、他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比,毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理,但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形,如直角边长均为1的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条,导致了当时认识上的"危机",从而产生了第一次数学危机。

11、罗素得出简单明了的矛盾，只用了三个基本概念，而集合论的基础地位已十分显赫，悖论的出现撼动了以集合论为基石的数学大厦。比如：弗雷格得知罗素悖论之后，认为他的“算术基础动摇了”；戴德金认为他的实数理论也成了问题。

12、罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后,在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了,即在工作完成之时,它的基础垮掉了,当本书等待印出的时候,罗素先生的一封信把我置于这种境地"。

13、微积分自诞生便迅速、广泛地应用于各个领域，自身也得到了飞速发展。也正因为发展迅猛，出现了一些混乱局面。在当时，整个微积分理论建立在含糊不清的无穷小概念上，而作为微积分方法的主要基石正是“无穷小分析”。

14、无理数的发现---第一次数学危机

15、第二次数学危机，指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。

16、世纪后半叶，康托尔首创的集合论成为现代数学的基础，被越来越多的数学家所接受和应用。1900年，巴黎召开第二届国际数学家大会，法国大数学家庞加莱骄傲地宣称：“现在我们能说完全的严格性已经达到了。”然而好景不长，数学家还没来得及高兴，英国数学家罗素提出了著名的罗素悖论，从而造成了数学史上空前的第三次危机，集合论的悖论所涉及的问题更深刻，涉及的范围更广阔。

17、世纪的数学思想的确是不严密的,直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念,从而导数、微分、积分等概念也不清楚,无穷大概念不清楚,以及发散级数求和的任意性,符号的不严格使用,不考虑连续就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

18、为摆脱这一空前的危机，数学家主要考虑了两条路径：抛弃整个集合论，把数学建立在新的理论基础之上；改造康托尔的集合理论，引进新的理论体系。经过探索，数学们选择了改造康托尔的集合理论。为捍卫数学理论基础的科学性和逻辑的严密性，当时很多著名的数学家、逻辑学家和哲学家都积极地投入了一场解决集合论中悖论的工作。例如：罗素提出了分支类型论；策梅罗、弗兰克等人共同建立的著名ZFC集合论公理系统；尤其是20世纪的伟大数学家哥德尔证明了哥德尔不完备性定理，该定理无论是在数学史上，还是在逻辑学发展史上都是一个里程碑。哥德尔不完备性定理的内容是：包括算术在内的任何一个协调公理系统都是不完备的。具体地讲，包括算术在内的任何一个形式系统L，如果L是协调的，那么在L内总存在不能判定的逻辑命题，即L中存在逻辑公式A与非A，在L内不能证明它们的真假。

19、在数学的发展史上，大大小小的矛盾出现过很多，但很少能威胁到整个数学基础理论，甚至引起危机。即便是千百年来人们对欧几里得几何公理第五公设的疑惑，也不曾造成数学上的危机，且最终成就了罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。数学史上共出现三次数学危机，每次都是由于悖论的发现而深刻和广泛的影响了数学基础。

20、由于幽灵一般的无穷小，微积分存在着种种逻辑缺陷，因此遭到了来自各个方面的攻击。尤其英国大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈。迫于当时自然科学的发展对宗教信仰的威胁和压力，似乎不难理解大主教的良苦用心。但打铁还需自身硬，当时的微积分理论确实没有牢固的基础，牛顿、莱布尼茨以及他们的拥趸，都无法澄清微积分理论基础中的混乱，致使来自各方面的非难似乎言之有理。正因为如此，贝克莱揭示出微积分基础中包含着逻辑矛盾，在当时引起了一定的混乱，导致了数学史上的第二次危机。

21、直到19世纪20年代,一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始,到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了严格的基础。

22、这里牛顿做了违反矛盾律的手续---先设x有增量,又令增量为零,也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零,召之即来,挥之即去,这是荒谬,"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零?无穷小及其分析是否合理?由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。

23、年,福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后,康托发现了很相似的悖论。1902年,罗素又发现了一个悖论,它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的,它涉及到某村理发师的困境。

24、经过数学危机的洗礼，古希腊人认识到：直觉、经验是不可靠的，推理论证才是可靠的。这种转变导致了公理几何学与逻辑学的诞生。

25、悖论的产生---第三次数学危机

26、到了公元前370年,这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法,出现在欧几里得《原本》第5卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理,仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。

27、无穷小是零吗?---第二次数学危机

28、由于古希腊人不能掌握无理数概念，限制了算术和代数，使得数学研究转向几何。

29、第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示,反之却可以由几何量来表示出来,整数的权威地位开始动摇,而几何学的身份升高了。危机也表明,直觉和经验不一定靠得住,推理证明才是可靠的,从此希腊人开始重视演译推理,并由此建立了几何公理体系,这不能不说是数学思想上的一次巨大革命!

30、若A属于A，则根据A的定义，A不属于A。

贝克莱悖论

31、贝克莱悖论与第二次数学危机

32、世纪,微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用,大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。

33、哥德尔定理的意义在于，包括数学在内的任何一个科学体系都不能用一个完备的系统概括起来。可以说，第三次数学危机是通过哥德尔的伟大贡献才得到基本解决。然而不会再有谁敢说，数学理论体系的大厦已经建成，说不定什么时候就会遇上第四次数学危机了。

34、承认无穷集合,承认无穷基数,就好像一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的。

35、罗素悖论与第三次数学危机

36、于是终结了近12年的刻苦钻研。

37、年，罗素在巴黎见到意大利数学家皮阿诺，他发现皮阿诺比任何其他人都严格，并认定这是他的数理逻辑所致。因此罗素潜心研究皮阿诺及其学生的著作，并且认定他的符号正好是自己寻求多年的、可以用来进行逻辑分析的工具。接着罗素开始打算从逻辑推出全部数学来。开始他觉得还顺利，但是不久就碰到问题。康托尔曾经证明过不存在最大的基数（因为任何一个集合的所有子集做成的集合的基数比原集合的基数大）。罗素对此有些疑惑，认为以世界上所有的集合为元素做成的集合应该是最大的（因而具有最大的基数）。这样他就发觉其中有些矛盾。开始的时候他也觉得这件事也许没有什么大不了，也许是在什么地方绕住了。但是他左思右想仍无法绕过来，结果产生了著名的罗素悖论。

38、大约公元前5世纪,不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文、音乐称为"四艺",在其中追求宇宙的和谐规律性。

39、导致了数学史上的第二次数学危机。

40、第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自根号二的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志。这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。

41、若A不属于A，则根据的定义，A属于A。

42、尽管在实践上，无穷小分析得到了成功的应用，但在逻辑上有两类缺陷：一是某些概念含糊不清；二是某些推理不严谨。例如：无穷小量在牛顿的著作中，有时是零，有时是非零有限量；在牛顿和莱布尼茨那里，运算的结果虽然正确，但推理过程却含有逻辑漏洞；开始会预先假定一个非零的有限增量，尔后又把这个零略去，违反逻辑上的同一律。

43、数学史上的第三次危机,是由1897年的突然冲击而出现的,到现在,从整体来看,还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且实际上集合论成了数学的基础,因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

44、数学发展史上的三次危机

45、罗素悖论很简单，它只涉及集合论的少数几个最基本的概念，如元素、集合、属于等。考虑由所有那些自身不属于自己的集合（以它们为元素）作成一个集合A，那么，A是本身属于自己的集合还是本身不属于自己的集合？理应二则必居其中一个，但是：

46、希帕索斯悖论与第一次数学危机

47、所以,第三次危机表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续着。