数学竞赛试题【精选57句】

数学竞赛试题

1、（A），；（B），；

2、（C）是非奇非偶函数；（D）可能是奇函数，也可能是偶函数.

3、（A）是偶函数；（B）是奇函数；

4、五、（8分）设向量组，，…，是齐次线性方程组的一个，向量不是方程组的解，即，试证明：向量组，，，…，.

5、由已知条件得,故解得，.

6、设在（）上连续，且为非零偶函数，，则（B）.

7、三、（8分）设及，求.

8、又在连续，，使，有，

9、（2）由上式变形得，两边取极限，，，，，.

10、设S为八面体全表面上半部分的上侧，则不正确的是………（D）.

11、设A、B都是阶非零矩阵，且，则A和B的秩…………………………（D）.

12、有界，，使，有，即，

13、.这两个等式,对x求导得

14、=，连续、周期，

15、[证]由已知条件，令

16、则为周期为1的函数，且，

17、[解]以L为边界任作两个光滑曲面，它们的法向量指向同一例，，记为与所围成的闭曲面，取外侧，所围立体为，则，由高斯公式得，由的任意性得,即解线性非齐次方程得.

18、（A）等于0；（B）等于1；（C）等于2；（D）不存在.

19、[证]（1）令,,由中值定理得

20、（A）3，3，；（B），，2；（C）3，，；（D），2，2.

21、设常数，则级数是……………………………（A）.

22、[解]设点Q为，则球面的切平面方程为垂线方程为代入及切平面方程得，，即（P点轨迹）.化为球坐标方程得.

23、电子科大高等数学竞赛试题与解答

24、[证]设有一组数使得,即

25、设在全平面上有，，则保证不等式成立的条件是………………………………………………………………………………（A）.

26、七、（8分）设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数使曲面积分

27、设直线L：，平面：，则它们的位置关系是（C）.

28、十、（10分）设函数在（，）连续，周期为1，且，函数在[0，1]上有连续导数，设，求证：级数收敛.

29、（A）；（B）L在上；（C）；（D）L与斜交.

30、（或由泰勒公式得）

数学竞赛试题

31、（A）；（B）；（C）；（D）.

32、（C）在的某个小区间上有；（D）在内至少有一点使.

33、八、（10分）设一球面的方程为，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体的体积.

34、[解]由条件知A的特征值为，则，的特征值为，A*的特征值为，由已知是A*关于的特征向量，也就是是A关于的特征向量，设A

35、（A）条件收敛；（B）绝对收敛；（C）发散；（D）敛散性与有关

36、故，由正项级数比较法知收敛.

37、[解]等式两端对x求导,得

38、与曲面S的形状无关.

39、设在上连续，且，则……………………………………（D）.

40、二、（8分）设在的邻域具有二阶导数，且，试求，及.

41、两边左乘A,得,

42、（1）求证：，，等式成立.

43、九、（10分）设函数在（）上连续，在可导，且.

44、一、选择题（40分，每小题4分，只有一个答案正确）.

45、（C），；（D），.

46、（A）在内不一定有使；（B）对于上的一切都有；

47、已知当时，的导数与为等价无穷小，则………………………………………………………………………………………（B）.

48、（A）必有一个等于零；（B）都等于；（C）一个小于，一个等于；（D）都小于.

49、四、（8分）设函数满足与，，求，，（表示对的一阶偏导数，其他类推）.

50、设是微分方程的满足，的解，则………………………………………………………………………………（B）.

51、（2）求极限.

52、六、（10分）已知三元二次型经正交变换化为，又知，其中，为A的，求此二次型的表达式.

53、,即,为的

54、（A）等于0；（B）等于；（C）等于1；（D）不存在.

55、关于的特征向量为,是实对称阵，与X要正交，解出.令，则，故

56、设A是3阶可逆矩阵，且满足，（为A的伴随矩阵），则A的三个特征值是………………………………………………………………………（C）.

57、假设全都做对，可得：20×8=160（分），现在得了134分，少得了160-134=26（分），做错一题，不但得不到8分还扣5分，说明做错一题，少得8+5=13（分），不答得0分，说明不答一题少得0+8=8（分），因为：26÷13=2（题），没有余数，则说明陈莉20道题全答了，则她答对了：20-2=18（道），答：她答对了18道．