微分几何浪漫解释精选162句

微分几何浪漫解释

1、而光滑函数：

2、再根据线性函数的性质（对于任意Δx,Δy∈Rⁿ,λ∈R）：

3、A(Δx+Δy)=A(Δx)+A(Δy)

4、勒贝格积分的概念定义在测度的概念上。测度是日常概念中测量长度、面积的推广，将其以公理化的方式定义。黎曼积分实际可以看成是用一系列矩形来尽可能铺满函数曲线下方的图形，而每个矩形的面积是长乘宽，或者说是两个区间之长度的乘积。测度为更一般的空间中的集合定义了类似长度的概念，从而能够“测量”更不规则的函数曲线下方图形的面积，从而定义积分。

5、可微的必要条件：如果函数f在一点x_0处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素都存在，但反之不真。

6、微分与积分的区别和联系：微分是把一个东西分解成无限小，积分是把微分后的结果，也就是无数无限小的东西重新集合成为一个整体，打一个比方，一个函数y=f(x)。

7、定义积分的方法不止一种，各种定义之间也不是完全等价的。其中的差别主要是在定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。

8、dx¹∧⋯∧dxⁿ

9、以上，小石头仅仅是向大家展示了微分形式的定义和最基本的性质和应用，微分形式的最重要应用是嘉当在《微分几何》中引入的活动标架，陈省身和老师都是玩微分形式的大师。关于《微分几何》有很多有趣的内容，以后有机会再慢慢讲给大家！

10、第二，数学概念不一样，微分是无限细分的意思，将一个不能计算的东西通过无限细分的方法可以计算，积分就是将无限细分的利用数学的函数关系以后就可以计算出了。

11、Δx=Δx¹e₁+...+Δxⁿe_n

12、从我们学过的《多元微积分》中，可以提取出如下记忆的碎片：

13、dy=y'Δx=1Δx=Δx

14、以下，令x=x¹,y=x²,z=x³。

15、df=A(Δx)=A(Δx¹e₁+...+Δxⁿe_n)=Δx¹A(e₁)+...+ΔxⁿA(e_n)

16、这样以来，对于任意两个1次微分形式：

17、之间的楔乘为：

18、=∂P/∂xdx∧dx+∂P/∂ydy∧dx+∂Q/∂xdx∧dy+∂Q/∂ydy∧dy

19、即，有（全）微分式：

20、ω=Pdx+Qdy+Rdz

21、G(V)=V⁰⊕V¹⊕V²⊕⋯⊕Vⁿ

22、为基的C(n,k)维线性空间。

23、这就是《高等数学》中的高斯公式。

24、积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。

25、利用，微分形式我们可以得到斯托克斯（Stokes）公式：设D是Rⁿ上一个k(0

26、=(∂P/∂xdx+∂P/∂ydy+∂P/∂zdz)∧dx+(∂Q/∂xdx+∂Q/∂ydy+∂Q/∂zdz)∧dy+(∂R/∂xdx+∂R/∂ydy+∂R/∂zdz)∧dz

27、全微分的几何意义是对于某点P0=（X0，Y0），z=f（X，Y）的切平面。设Δx是曲线y=f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，可以用切线段近似代替曲线段。设函数y=f(x)在x的邻域内有定义，x及x+Δx在此区间内。如果函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)可表示为Δy=AΔx+o(Δx)（其中A是不不随Δx改变的常量，但A可以随x改变），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小。

28、于是，Stokes公式为：

29、ω₂=g²₁dx¹+...+g²_ndxⁿ

30、可微的充分条件：如果函数f在一点x_0的雅克比矩阵的每一个元素\frac{\partialf_i}{\partialx_j}(x_0)都在x_0连续，那么函数在这点处可微，但反之不真。

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31、特别地，d(dxⁱ)=0，因为dxⁱ=1dxⁱ，故，

32、ω=g₁dx¹+...+g_ndxⁿ

33、其跟欧几里德几何基本只有关于平行的定理不同。2.黎曼几何：将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量，在物理学中用的比较多。3.射影几何：研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。4.分形几何：空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数5.微分几何：运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质还有很多啦看你想怎么分类啦。。。

34、A(λΔx)=λA(Δx)

35、积分是把微分后的结果，也就是无数无限小的东西重新集合成为一个整体。

36、dω=dP∧dx+dQ∧dy

37、微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。

38、设函数y=f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0+Δx在此区间内。如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)

39、在Rn（或定义了一组标准基的内积空间）里，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：

40、当A确定是，A(e₁),...,A(e_n)都是常数，令，K₁=A(e₁),...,K_n=A(e_n)，于是f的微分可以改写为：

41、df=K₁Δx¹+...+K_nΔxⁿ

42、ω=Pdx∧dy+Qdy∧dz+Rdz∧dx

43、微分形式是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。

44、对于经过x∈Rⁿ点的任意光滑函数f∈C^∞，存在一组光滑函数gᵢ∈C^∞（i=1,...,n）满足：

45、积分分为定积分和不定积分，定积分就是求曲线与x轴所夹的面积；不定积分就是该面积满足的方程式。

46、如果n维欧氏空间Rⁿ上的多元函数f:Rⁿ→R，存在任意阶连续偏导，则称f为光滑函数。将Rⁿ上的全体光滑函数，记为：C^∞。

47、令u=x+Δx，则上面的引理，可改写为：

48、特别地，当n=1，即，f是一元函数，时，有，

49、早在希腊时期，人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论证和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。

50、(1+1)ω∧ω=0

51、d(dxⁱ)=d1∧dxⁱ=0∧dxⁱ=0⋅1∧dxⁱ=0(1∧dxⁱ)=0dxⁱ=0

52、微分介绍

53、积分是需要几何形体的面积或体积。

54、=(∂Q/∂x-∂P/∂y)dx∧dy

55、ω₁=g¹₁dx¹+...+g¹_ndxⁿ

56、令f(x)=F'(x)有，

57、在微积分中,积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数。在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和。

58、与数乘可交换：(gω₁)∧ω₂=g(ω₁∧ω₂)=ω₁∧(gω₂)；

59、而，当k>n时，Vᵏ={0}。

60、eⁱ(x)=xⁱ

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61、当n=3,p=3时，对于2次微分形式，

62、类似地，通过k个1次微分形式的楔乘，可以得到k次微分形式：

63、dω=dP∧dx∧dy+dQ∧dy∧dz+dR∧dz∧dx

64、（由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！）

65、d(dω)=0

66、ω∧ω=-ω∧ω

67、于是，再令D=[a,b]，Stokes公式为：

68、这称为庞加莱引理。

69、回到开始，观察，光滑函数f微分df，对于每一个f∈V⁰，都有一个df∈V¹，因此微分其实就是，V⁰到V¹的算子，即，

70、当n=2,p=2时，对于1次微分形式，

71、df=f'Δx

72、微分就是求导的过程,积分就是逆向求导。

73、于是我们得到：

74、积分介绍

75、给定任意光滑f∈C^∞，在任意一点x=(x¹,...,xⁿ)∈Rⁿ处的增量函数（Δx=(Δx¹,...,Δxⁿ)∈Rⁿ）：

76、设f是从Rn射到Rm的函数，f=(f1,f2,...fm)，那么：

77、数学表达不同

78、dω=dP∧dx+dQ∧dy+R∧dz

79、一般我们不去讨论dxⁱ本身的意义只是看做一个形式，但是如果深究，则可以考虑下标函数：

80、ω∧ω+ω∧ω=0

81、定义任意微分形式ω₁和ω₂之间的一种以∧为运算符号的，称为外积（楔乘）的运算：

82、十七世纪以后，牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题，透过「微积分基本定理」或「牛顿－莱布尼茨公式」联系起来，说明求积分基本上是求微分之逆，求微分也是求积分之逆。这是微积分理论中的基石，是微积分发展一个重要的里程碑。

83、dy=dx

84、如果f是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。

85、=P/∂ydy∧dx+∂P/∂zdz∧dx+∂Q/∂xdx∧dy+∂Q/∂zdz∧dy+∂R/∂xdx∧dz+∂R/∂ydy∧dz

86、=0-∂P/∂ydx∧dy+∂Q/∂xdx∧dy+0

87、设，e₁=(1,0,...,0),...,e_n=(0,...,0,1)是Rⁿ的标准单位正交基，则Δx可以表示为：

88、称为1次微分形式。

89、dxⁱ∧dxⁱ=0

90、Kᵢ=Δf/Δxⁱ-o(|Δxⁱ|)/Δxⁱ

微分几何浪漫解释

91、ω=Pdx+Qdy

92、更加合理。因为，当x=x(u,v),y=y(u,v)时，有：

93、利用，这个结论，我们可以将微分算子扩展到d:Vᵏ→Vᵏ⁺¹，定义如下：

94、dω=F'(x)dx=f(x)dx

95、就是，0次微分形式。

96、ω∧ω=0

97、然后，等式两边取极限，有，

98、满足（对于任意ω₁,ω₂,ω₃∈V¹,g∈C^∞）：

99、微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响。爱因斯坦的广义相对论就以微分几

100、并且，对于x附近邻域U内任意一点u=(u¹,...,uⁿ)，都有：

101、区别和联系如下：

102、积分：设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(c为任

103、例如，在微积分中，可以使用全微分来计算函数的极值，因为全微分可以将复杂的函数转化为一个简单的可求解的函数。

104、分配律：(ω₁+ω₂)∧ω₃=ω₁∧ω₃+ω₂∧ω₃,ω₁∧(ω₂+ω₃)=ω₁∧ω₂+ω₁∧ω₃；

105、为了，一致性，我们令V⁰=C^∞，显然1是V⁰的基，有，

106、比《高等数学》中的重积分的表示方法，例如，

107、而，因为y=x，所以，

108、这个称为2次微分形式。

109、当n=1，p=1时，对于0次微分形式，

110、|Δx|=√(Δx⋅Δx)=√(Δx¹Δx¹+...+ΔxⁿΔxⁿ)=√(ΔxⁱΔxⁱ)=|Δxⁱ|

111、设f是从欧几里得空间（或者任意一个内积空间）中的一个开集射到的一个函数。对于中的一点x及其在中的邻域中的点x+h。如果存在线性映射A使得对任意这样的x+h，那么称函数f在点x处可微。线性映射A叫做f在点x处的微分。

112、最终，f的微分改写为：

113、事实上，对于任意k次微分形式ω都有：

114、微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一

115、∧dxⁱ=dxⁱ

116、对于任意Kᵢ，令Δxʲ=0(j≠i)，则，

117、Δf=KᵢΔxⁱ+o(|Δxⁱ|)

118、=(∂P/∂xdx+∂P/∂ydy)∧dx+(∂Q/∂xdx+∂Q/∂ydy)∧dy

119、这就是《高等数学》中的牛顿-莱布尼兹公式。

120、具体来说，对于一个改变量：，微分值：

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121、这就是《高等数学》中的斯托克斯公式。

122、意常数)，叫作函数f(x)的不定积分，数学表达式为：若f'(x)=g(x)，则有fg(x)dx=f(x)+c。

123、对于任意ω∈V¹，根据反交换律有：

124、罗巴切夫斯基几何:又名双曲几何,研究当平面变成鞍马型之后，平面几何倒底还有几多可以适用，以及会有甚么特别的现象产生。

125、微分和积分的区别包括：定义不同、数学表达不同、几何意义不同。

126、结合律：(ω₁∧ω₂)∧ω₃=ω₁∧(ω₂∧ω₃)=ω₁∧ω₂∧ω₃；

127、是微积分学的一个概念，指多元函数的全增量的线性主部。一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是：此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续，则此函数在该点可微。

128、则∧可自然地扩展到G(V)上，这称为外代数或Gassmann代数。同样微分算子d也可以扩展到G(V)上。

129、考虑R¹上的一元函数y=x，y的微分为，

130、可以证明如下引理：

131、由于dxⁱ∧dxⁱ=0，所以，当k=n时，Vⁿ的积只有一个：

132、ω=F(x)

133、微分：导数和微分在书写的形式有些区别，如y'=f(x),则为导数，书写成dy=f(x)dx,则为微分。

134、反交换律：ω₁∧ω₂=-ω₂∧ω₁；

135、定义不同

136、其中，o(ρ)称为ρ的无穷小量，满足：

137、以面，用微分形式表示重积分，例如，

138、第一，数学名称不一样，分别是微分和积分，

139、进而从f的微分式得到：

140、=(∂Q/∂x+∂R/∂y+∂P/∂z)dx∧dy∧dz

141、微分的几何意义是将线段无线缩小来近似代替曲线段；

142、=∂P/∂zdz∧dx∧dy+∂Q/∂xdx∧dy∧dz+∂R/∂ydy∧dz∧dx

143、微分就是在某点处用切线的直线方程近似曲线方程的取值，不指定某点就是所有点满足的关系式；

144、全微分的几何意义是指将原来的问题转化为另一个空间中的一个连续的一次函数，从而使原始问题的解非常容易计算。

145、微分的性质

146、将，k次微分形式的全体，记为V²，它是以C(n,k)个：

147、这就是《高等数学》中的格林公式。

148、小石头，在回答“外代数那些内容看不懂？”中给大家介绍过通过反对称的张量构造外代数实例的方法，而这里，微分形式又是另外一个重要的外代数实例。

149、=(∂Q/∂x-P/∂y)dx∧dy+(∂R/∂y-∂Q/∂z)dy∧dz+(∂P/∂z-∂R/∂x)dz∧dx

150、在x点的附近的邻域U内，近似于一个称为f的（全）微分的线性函数：

微分几何浪漫解释

151、现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由著名法国数学家埃里·卡当(ElieCartan)引入的。

152、则，最终f的微分，改写为：

153、注：这里变量的上标，和变量下标一样，表示变量序号而非指数。

154、当n=3，p=2时，则对于1次微分形式，

155、几何意义不同

156、最后，令G(V)是V⁰,V¹,...,Vⁿ的直和，即，

157、ω₁∧ω₂

158、=-P/∂ydx∧dy+∂P/∂zdz∧dx+∂Q/∂xdx∧dy-∂Q/∂zdy∧dz-∂R/∂xdz∧dx+∂R/∂ydy∧dz

159、于是，以dx¹,...,dxⁿ为基以C^∞中的光滑函数为标量，可以张成一个n维线性空间，记为V¹。它是U内x点处的增量函数的全体。对于任意ω∈V¹，都有：

160、如果，将dx¹,...,dxⁿ看做一组基，C^∞中的光滑函数标量，则上面的结果表明：任意一个x点处的增量函数Δf，在U内可以被dx¹,...,dxⁿ线性表示。

161、偰乘规则刚好符合重积分的换位法。

162、微分流形M上外形式丛的一个光滑截面.设ω：M→Λ(TM*)，若对于外形式丛的丛射影π，满足π°ω=id，则称ω为M上的微分形式.